Ajuste dinámico de precios en un modelo basado en agentes en Python

Nicolás David Harari

Tutora: Viktoriya Semeshenko

Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires

Segundo Cuatrimestre 2020

Resumen

Los modelos tradicionales de equilibrio walrasiano presentan una elegante caracterización de los valores de equilibrio que puede tomar una economía dado las características de los agentes —en este caso las firmas y los consumidores. Sin embargo, un número creciente de autores plantean que no logran explicitar de forma convincente el mecanismo por el cual los precios llegan a aquellos equilibrios (Arthur, 2015; A. Kirman, 2006; A. P. Kirman & Vriend, 2001). Ellos plantean la posibilidad de obtener resultados superadores a los obtenidos mediante las técnicas de modelización tradicional utilizando el paradigma de la economía computacional y el enfoque de complejidad (Albin y Foley 1992; Arthur 2015; Gode y Sunder 1993; Hommes 2013; Kirman y Vriend 2001; Vriend 1995; Wilhite 2001)

$n$ $m$ $t_0$ $|n-m$ -avo individuo, ordenados por sus disposiciones de mayor a menor (en caso de haber más vendedores que compradores, se presenta el caso contrario). En las oportunidades donde las cantidades son iguales, el precio de equilibrio tiende a ser intermedio. Este resultado está en línea con los modelos de mercado tradicionales.

Los resultados presentados al final del trabajo fueron obtenidos utilizando el lenguaje de programación python, cuyo código es elaboración personal que se puede encontrar aquí.

Tabla de contenidos

Ajuste dinámico de precios en un modelo basado en agentes en PythonResumenTabla de contenidosIntroducciónEl modeloAjuste de expectativasCondiciones terminalesImplementaciónResultadosCaso simple: un vendedor, dos compradoresSimulaciones con más agentes: casos individuales y agregadosEl rol de la resistenciaConclusionesBibliografíaAnexoGráficos estáticos de resistencia

Introducción

La idea de que acciones descentralizadas de individuos egoístas logran agregarse en orden sin la necesidad de intermediaciones es la base del concepto de la “mano invisible” del mercado de Smith. Sin embargo, la propia institución del mercado se encuentra desaparecida de los modelos tradicionales de equilibrio walrasiano (Kirman 2006) donde éste no es más que un espacio donde los individuos comunican sus preferencias y sus restricciones presupuestarias y luego son informados del precio de equilibrio y las cantidades a consumir.

Recientes trabajos resaltan la inverosimilitud del proceso de fijación de precios en el modelo de competencia perfecta clásico (Arthur, 2015; Axtell, 2005; A. Kirman, 2006; A. P. Kirman & Vriend, 2001). Kirman (2006) sostiene que en esta descripción la llegada a los valores de equilibrio se encuentra indeterminada y que la figura del subastador walrasiano no resulta una descripción satisfactoria para muchos mercados. Axtell (2005), por su parte compara la complejidad computacional del proceso de ajuste del subastador walrasiano con un proceso descentralizado. A grandes cantidades de agentes y bienes la complejidad alcanzada por el primer método resulta demasiado alta y, por consiguiente, inverosímil. Una posible alternativa se puede encontrar en modelos de economía computacional, especialmente en el área de modelos basados en agentes.

Los modelos de economía computacional comparten ciertas características generales: la economía no está necesariamente en equilibrio, los agentes no cuentan con racionalidad perfecta por lo que utilizan múltiples heurísticas y reglas de decisión para encontrar la mejor solución posible en una economía que cambia constantemente de forma orgánica (Arthur 2015). En esta interpretación la economía está constantemente “«computándose» a si misma” (comillas en el original), y los mercados son instituciones compuestas por individuos que reaccionan de manera adaptativa a su ambiente. En este contexto, cuando pequeños cambios en las condiciones de la economía resultan en interacciones a priori impredecibles, se está en presencia de un sistema complejo adaptativo (Kirman, 2006; Arthur 2015; Hommes, 2019).

Una de las maneras en las que un sistema complejo puede ser representado es mediante con agentes que interactúan entre ellos (Vriend 1995) de forma no muy distinta a los modelos basados en agentes. Estos, según la caracterización de (Dosi y Roventini 2017) no son más que una población de agentes que puede (o no) cambiar en el tiempo que evoluciona de forma discreta, caracterizados por variables y parámetros microeconómicos y determinadas reglas de decisión.

Un error común al analizar modelos económicos basados en agentes es interpretar la simulación como la búsqueda de una representación computacional perfecta del mundo exterior (Kirman y Vriend 2001). Como cualquier modelo, un ABM es una representación de un hecho social. Más aún, la única razón por la cual se ejecuta la simulación de un modelo computacional es para realizar los tests de consistencia necesarios. De esta forma, al iterar el modelo sobre distintos valores se puede construir una recopilación de historias (Axelrod & Tesfatsion, 2006) que, en el agregado de simulaciones, pueden revelar los hechos estilizados que se busca representar. Esto se vuelve evidente al considerar que los modelos complejos pueden generar resultados inesperados a partir de reglas iniciales simples. Así, de manera equivalente a que frente a un modelo matemático se resuelve un sistema de ecuaciones, al trabajar con modelos computacionales se ejecuta el programa y analiza sus resultados; asegurando así su consistencia (Kirman y Vriend 2001).

Múltiples modelos existen en la literatura que intentan resolver el problema del intercambio mediante estrategias basadas en agentes (Albin y Foley 1992; Arthur 2015; Gode y Sunder 1993; Hommes 2013; Kirman y Vriend 2001; Vriend 1995; Wilhite 2001). Heymann et al (2014) proponen una solución al oligopolio de Bertrand-Edgeworth donde firmas idénticas deciden el precio de un bien homogéneo mediante reglas simples de actualización de precio basadas en las ventas de los periodos anteriores. Las heurísticas simples logran reproducir satisfactoriamente los resultados de laboratorio. Distintos modelos recopilados en Hommes (2013) también logran replicar resultados de laboratorio en un contexto de mercado competitivo para un bien perecedero cuya demanda debe ser anticipada mediante el uso de distintas heurísticas. Kirman y Vriend (2001) presentan un modelo donde la capacidad de los vendedores de discriminar entre distintos compradores y ofertas del tipo “tómalo o déjalo” logra reproducir ciertos hechos estilizados del mercado de pescado de Marsella: una gran dispersión de precio combinada con una alta lealtad de los compradores.

Sin embargo, no es necesario contar con agentes tan sofisticados: Gode y Sunder (1993) encuentran que sólo es necesario imponer una restricción presupuestaria a agentes con “inteligencia cero” que realizan ofertas aleatorias para obtener resultados cercanos a la eficiencia. Por su parte Vriend (1995) presenta un modelo donde consumidores buscan para conseguir una unidad individual de un bien publicitado por sus vendedores. En este modelo, los agentes saben que existen otros, pero no conocen sus características, sus números o sus acciones cuando se encuentran entre sí. Sin embargo, mediante reglas simples el autor logra responder, en sus palabras, “How do self-organized markets emerge in the economy, and what are their characteristics”

Finalmente, en su manual introductorio, Hamill y Gilbert (2016) plantean dos modelos de mercado basados en agentes. En el primero, consumidores definidos mediante precios máximos de reserva interactúan con firmas que ajustan tanto su capacidad como los precios de venta de un bien homogéneo. Como también plantea (Kirman 1992) la oferta agregada toma una forma suave aun cuando las firmas individuales son heterogéneas y el modelo logra replicar resultados de competencia perfecta. En el otro caso, utilizado para caracterizar el mercado de productos digitales, las firmas compiten por precio para ganar participación en un contexto de costos bajos, retornos crecientes a escala y sin límites de capacidad.

El modelo

$A$ $S$ $B$ $A = \{s_1,... s_n; \ b_1, ... b_m\}$ $t$ $U$ — $s_i$ — $c_i$ $b_j$ $r_j$ $\forall i, c_i \in \left[\underline{c}, \overline{c}\right]$ $\forall j, r_j\in \left[\underline{r}, \overline{r}\right]$ $\underline{c}, \overline{c} ; \ \underline{r}, \overline{r}$ $\overline{c}< \underline{r}$ por lo que para cualquier valor de U los agentes podrían encontrar beneficios de intercambio.

prior $p_{s, 1}, p_{b, 1}$ , que representa un valor que creen justoprior $\forall i \ p_{s_i, 1} \in \left[c_i, \overline{c}\right]$ $\forall j, p_{b_j, 1}\in \left[\underline{r}, r_j\right]$ . Esto implica, en el caso del vendedor, que su prior estará dentro del intervalo delimitado por el costo máximo posible y su propio costo.

$|n-m|$ individuos que quedarán automáticamente fuera de las negociaciones. De esto se infiere fácilmente que para un determinado periodo no puede ocurrir que simultáneamente individuos de ambos conjuntos queden sin pareja.

$\{p_{s_i, t};p_{b_j, t}\}$ de acuerdo con cuanto consideran que podrían intercambiar el producto. El mercado observa los precios y declara una transacción de cumplirse la siguiente condición:

$t$ $s_i$ $b_j$
$p_{s_i, t}\leq p_{b_j, t}$

Acto seguido, se realizará el intercambio. Una vez que todos los pares deciden si realizar o no la transacción, ambas partes se separan y todos los agentes que participaron en el mercado —agrupados o no— reevalúan sus expectativas de precios para el siguiente periodo y deciden si continuarán participando en el mismo. Aquellos que cumplan las condiciones volverán en el periodo siguiente. Respecto de las condiciones terminales y el número total de rondas se explicitará más adelante.

$\left[p_{s_i, t} ; p_{b_j, t}\right]$ no resulta relevante, ya que se busca modelar como los agentes reevalúan sus precios esperados periodo a periodo.

$t$ $U$ —— $b_j$ $r_j > p_{s_i, t} > p_{b_j, t}$ $p_{b_j, t}$ sentiría que en ese periodo está siendo engañado y que es posible conseguir el bien por un precio menor. Por lo tanto, el mercado prohíbe la transacción y este, luego de reevaluar sus expectativas, volverá a buscar una mejor oferta en el periodo siguiente.

Ajuste de expectativas

$t$ $t+1$ $\Delta\in [0,1]$ $c_i$ $r_j$ por encima del cual no estarán dispuestos a adquirirlo, la actualización del precio esperado por periodo se definirá de la siguiente manera:

Ajuste de precios del vendedor
$\begin{equation} p_{s_i, t+1} = \left\{ \begin{array}{ll} p_{s_i, t} +\Delta & {\textrm{si se efectúa el intercambio}} \\ {\max{\{ p_{s_i, t} -\Delta}; \ c_{i}\}} & {\textrm{si no se efectúa el intercambio}} \\ \end{array}\right. \end{equation}$
Donde el precio esperado no puede resultar menor que el costo individual.

Ajuste de precios del comprador
$\begin{equation} p_{b_j, t+1} = \left\{ \begin{array}{ll} p_{j_i, t} - \Delta & {\textrm{si se efectúa el intercambio}} \\ {\min{\{ p_{b_j, t} + \Delta}; \ r_{j}\}} & {\textrm{si no se efectúa el intercambio}} \\ \end{array}\right. \end{equation}$
Donde el precio esperado no puede resultar mayor al precio de reserva.

$e \in \Z$ $s_i(\hat{c})$ $s_i(\hat{c})$ no puede identificar si el rechazo del intercambio ocurre porque el precio que demanda es demasiado exigente en generalen este caso particular $U$ prohibitivos, la dinámica de precios esperados se mantiene indefinidamente en valores intermedios y las diferencias de cantidades de compradores y vendedores no se logran generar. De esta condición surge una importante salvedad: el juego terminará o bien al alcanzarse el número máximo de turnos o bien cuando de algún grupo (compradores, vendedores) ya no queden participantes.

$e$ $\Delta$ $\Delta$ suave $\Delta=0,5$ , considerándolo un punto intermedio.

$U$ $c_i$ $r_j$ $\Delta$ $e\in \Z$ (endurance). Finalmente, cada individuo tiene un precio esperado que considera “justo” para cada periodo.

Condiciones terminales

Hasta ahora se ha expuesto como opera turno a turno el sistema. Sin embargo, no sería práctico que el mismo se expanda indefinidamente en el tiempo. Para evitarlo, a continuación se expresarán las condiciones en las cuales el mismo termina.

La primera restricción temporal del modelo proviene de su misma construcción: periodo a periodo, existe la posibilidad de que cualquiera de los agentes abandone el mercado para no volver. Esto ocurre independientemente de cuántos de sus compañeros continúan en el sistema. Esto implica la posibilidad de que en algún momento no queden compradores o vendedores a participar en el mercado. La primera restricción es que el conjunto de agentes activos de cada tipo para todo momento tenga tamaño positivo. De alcanzar una situación donde no queden compradores o vendedores, acabará el juego.

La segunda condición terminal responde a la estabilidad del sistema. Como se explicó anteriormente, los agentes periodo a periodo se encuentran con individuos del grupo opuesto, conocen sus precios esperados en ese turno, ignoran las expectativas de aquellos con los que no se ven y reaccionan de forma acorde. Ahora bien, un espectador externo, al preguntarse por el precio del bien en un turno determinado no puede más que describir cómo están distribuidos los precios esperados de los agentes. Quizás un vendedor particular espera conseguir un precio bajo o un consumidor está dispuesto a pagar un valor elevado, sin embargo, los agentes en general consideran que el precio se encuentra alrededor de un valor. Esta dinámica proviene del comportamiento de los propios agentes: como se encuentran de a pares de forma aleatoria resulta improbable que las señales que reciban al intercambiar sus precios esperados sean muy distintas a la media de la población. Este fenómeno será específicamente relevante conforme hayan pasado los suficientes turnos para que varios de los agentes se hayan encontrado entre si.

estabilidad $s$ $MCO$ $w$ $w$ $|s|<\epsilon$ $T_{low}$ de periodos, que garantiza que se habrán recolectado los datos necesarios para realizar la medida de estabilidad.

$T^{Max}$ de turnos. A continuación se expone la implementación del modelo y las dinámicas encontradas.

Implementación

El presente trabajo utiliza el lenguaje de programación python para generar las simulaciones del modelo. Este es un lenguaje open-source que tiene como foco la legibilidad de su código y la simpleza de sus operativos. Como lenguaje soporta distintos estilos de programación, entre los cuales se encuentra la orientada a objetos (object oriented programing o OOP) que es útil para realizar simulaciones basadas en agentes. Esto es porque es posible definir clases que funcionan como modelos para inicializar multiplicidad de instancias o realizaciones distintas, objetos (Sargent & Stachurski, 2015). Cada objeto cuenta con atributos (datos) y métodos (funciones) que reflejan una estructura común. Así, es simple proponer una multiplicidad de actores que compartan características similares, pero con diferentes valores particulares.

Siguiendo esta línea conceptual, se consideran tres clases centrales en la implementación, el mercado, cuyo rol es el de facilitar el intercambio y los dos tipos de agentes, los consumidores y vendedores. La Figura 1 muestra como las distintas clases se relacionan entre sí: en nuestro modelo basado en agentes, se inicializará un mercado que estará conformado por los compradores y vendedores iniciales. Cada uno de ellos tendrá cualidades particulares –los precios de reserva y los costos, respectivamente– los parámetros generales y los priors en los precios. De esta forma, cada individuo (y su información) es independiente del resto.

Figura 1

Estructura del modelo

La clase market es la principal del modelo: contiene a los agentes, los aparea, obtiene sus precios esperados y les comunica a los agentes si se realiza el intercambio. Luego, almacena la información relativa a los vendedores y compradores medios para los cálculos de estabilidad. Antes de finalizar cada periodo, prepara a los agentes para la ronda posterior, haciendo que estos reevalúen sus expectativas y echa a quienes hayan alcanzado la resistencia máxima. Finalmente, luego de controlar que no se haya alcanzado la condición de estabilidad, que el número de compradores y vendedores sea mayor a cero —y de no haber alcanzado la cantidad máxima de rondas— avanza el tiempo.

Por su lado, es responsabilidad de los distintos agentes almacenar sus datos individuales y actualizar sus expectativas según la regla explicitada en el apartado anterior. Así, el diseño actual abre la posibilidad a la construcción de modelos con agentes que utilicen distintas reglas de ajuste de expectativas. A continuación, en la Figura 2, se puede ver una representación de los distintos estados que transita el modelo, desde la primera apertura del mercado hasta la eventual terminación del programa

Figura 2

Diagrama de estados del modelo.

resolution $\Delta$ $\Z/res$ $res=\frac{1}{\Delta}$ . Esta decisión no afecta el resultado de la simulación, sino que sirve para facilitar el análisis.

El código en su totalidad puede encontrarse aquí. Los gráficos presentados a continuación se realizaron utilizando los paquetes altair (VanderPlas et al., 2018) y matplotlib (Hunter, 2007) mientras que el resto del código es elaboración personal.

Resultados

$100$ $U$ $\Delta$ $w$ $\epsilon$ y los valores mínimos y máximos de turnos. Los valores específicos para las utilidades de reserva y los priors del precio esperado para el primer periodo son instanciados con cada agente al comienzo de las rondas y se mantienen a lo largo del proceso. Los parámetros iniciales se presentan en la tabla a continuación.

Comprador	Vendedor	Mercado
$\underline{c} = 10$	$\underline{r} = 20$	$T_{low}=20 ; T^{max}=500$
$\overline{c}=20$	$\overline{r}=30$	$N=100$
$\Delta =0.5$	$\Delta =0.50$	$w=10$
`resolution` $=2$	`resolution` $=2$	$\epsilon= 0.05$

Caso simple: un vendedor, dos compradores

Comenzaremos por el caso más simple, en el que un sólo vendedor se encuentra con dos compradores. En las Figuras 3a y 3b se muestran los precios esperados de los agentes en cada turno, representados por las líneas de círculos, acompañados de las utilidades de reserva, marcadas con líneas finas horizontales ambas verdes para los vendedores y rojas para los compradores. Al observar el resultado, es posible diferenciar tres etapas distintas en el proceso de ajuste que serán luego compartidas para los casos con mayor número de agentes: convergencia, regateo y estabilidad.

Figura 3a	Figura 3b

$\{S=1; B=2; e=3\}$	$\{S=1; B=2; e=3\}$

$\overline{c}< \underline{r}$ por lo que en el inicio cualquier par de agentes encuentra beneficios de intercambio.

Ahora bien, cuando los precios esperados de los agentes no garantizan que cualquier par de vendedor-comprador encuentre beneficio en el intercambio, comienza la etapa de regateo. Es aquí donde los agentes se empiezan a encontrar con propuestas que no les son atractivas y que comienzan a rechazar. A medida que avanzan los turnos, es posible que alguno se enfrente de forma consecutiva con oportunidades frustradas y que abandone el mercado. Esto puede suceder cuando el precio promedio del mercado supera su utilidad de reserva, pero no es necesario que sea en esas circunstancias. Es útil recordar que la condición para que un agente abandone el mercado no responde de forma directa a su precio individual de reserva, o incluso al valor de su precio esperado, sino a la coincidencia de encontrarse de forma consecutiva en un número de fracasos al intercambiar con sus pares. La seguidilla de encuentros fallidos —aquellos donde el precio ofrecido por el vendedor es mayor al del comprador— puede ocurrir en cualquier momento, sea prohibitivo el precio de mercado o no ya que depende del azar de los encuentros. De esta forma es posible que un agente que debería quedarse en el modelo según sus utilidades de reserva abandone al encontrarse aleatoriamente en una seguidilla de encuentros desventajosos. Respecto a este fenómeno se hará mayor hincapié en las secciones siguientes, especialmente cuando se discuta el parámetro de estabilidad.

$w$ periodos. En este contexto, decimos que se alcanzó estabilidad. Esta condición suele suceder, como se mostrará más adelante, cuando la cantidad de compradores y vendedores es igual.

Sin embargo, aun no se ha explicado el interrogante central del modelo: por qué el precio tiende a subir cuando hay mayor cantidad de compradores. La respuesta es simple cuando uno recuerda dos factores; el primero que al ser parte del grupo más pequeño el vendedor participa todos los periodos del mercado, mientras que sus contrincantes sólo lo hacen en promedio turno por medio. De forma que, de encontrarse con propuestas atractivas el vendedor va a volverse más exigente periodo a periodo. Y esto ocurrirá por el segundo factor: los compradores se vuelven menos exigentes si vuelven a su casa con las manos vacías independientemente de haberse encontrado con el vendedoral menos un individuo $B-S$ $S>B$ ) aumentará su precio esperado para el periodo subsiguiente. Estos dos factores interconectados son los que generan en definitiva el aumento del precio en el sistema.

No obstante las dinámicas individuales, la aleatoriedad en el apareamiento de compradores y vendedores sugiere la necesidad de analizar los resultados agregados a través de las instancias, todas con agentes idénticos. A continuación se presentan dos ilustraciones posibles: en la Figura 4a se ve un gráfico al estilo Heymann et al (2014) donde se muestra el precio mínimo, máximo y promedio de uno de los grupos (en este caso, compradores) junto con una instanciación particular de muestra y el gráfico de medias vs medias en cada periodo a lo largo de las simulaciones, ambos acompañados con histogramas que muestran el número de simulaciones que alcanzan estabilidad en cada turno.

En la Figura 4a se puede apreciar que el precio máximo nunca supera el precio de reserva más elevado del mercado (ya que nadie espera un precio mayor al propio de reserva) mientras que una vez la mayor parte de las simulaciones comienza a alcanzar estabilidad el precio mínimo iguala o supera el menor precio de reserva, lo que significa que es éste quien termina abandonando el mercado. En estos turnos, la media de los compradores supera este valor mínimo, estabilizándose en puntos apenas superiores. Es importante recordar que a medida que las simulaciones finalizan, su media no es contabilizada en la media total, lo que explica la característica zigzagueante una vez superado el turno 90: en este momento, sólo queda una simulación por mostrar.

En la Figura 4b puede apreciarse el motivo por el cual se considera como medida de estabilidad la media de los precios esperados: tanto a través de las simulaciones como en cada simulación individual los agentes parecen seguir la media del grupo contrario, marcando de esta forma los momentos generales de convergencia, regateo (aquellos puntos donde se mantienen muy próximas las curvas) y convergencia. Esto tiene una explicación bastante intuitiva: cada agente recibe información de un contrincante por vez sin saber si se trata de un nuevo individuo o no y su reacción responde a si la nueva propuesta es mejor (o peor) a las vistas anteriormente, o mejor dicho, a la recalibración de las expectativas dadas las propuestas previas. De esta forma el mercado se mueve alrededor de los valores medios, reaccionando a las posibilidades de cambio de los precios que perciban los agentes.

Figura 4a	Figura 4b

$\{S=1; B=2; e=3\}$	$\{S=1; B=2; e=3\}$

Simulaciones con más agentes: casos individuales y agregados

$\{S, B\}$ $(S+1)\times (B+1)$ individuos (considerando que pueden abandonar todos los de un tipo), sin considerar la posibilidad de precios medios finales mayores o menores. Sin embargo, es posible encontrar que la cantidad relativa inicial de compradores y vendedores cumple un rol fundamental a la hora de definir el precio de equilibrio emergente y es por esto que el presente apartado se divide en tres secciones, una donde las cantidades son idénticas, otra donde se encuentra prevalencia de vendedores y una tercera con mayoría compradores. El análisis de las dinámicas agregadas a través de las simulaciones se reserva para apartados posteriores.

Igual cantidad de compradores y vendedores

El precio medio suele permanecer en valores intermedios

$\{S=3; B=3;e=4\}$ elegidas intencionalmente para mostrar los resultados posibles. En la Figura 5a se encuentra el ejemplo más común ( 89 de las 100 simulaciones se comportaron de esta manera) donde ambos grupos superaron la etapa de regateo sin perder camaradas. Así, ningún grupo participa en promedio más veces del mercado o tiene individuos que consistentemente vuelven luego de no encontrar pareja menos exigente el turno siguiente. La etapa de regateo termina con todos los participantes con precios esperados similares alcanzando estabilidad apenas pasados 30 periodos.

$e$ periodos consecutivos se encontró con propuestas no atractivas y decidió abandonar el modelo. De esta forma el sistema tiene un desbalance, un mayor número de compradores implica que periodo a periodo uno de ellos no encontrará pareja y retornando menos exigente, haciendo subir el precio esperado promedio hasta que uno abandone el mercado y este encuentre estabilidad.

Figura 5a	Figura 5b

$\{S=3; B=3; e=4\}$	$\{S=3; B=3; e=4\}$

$\{S=5; B=5; e=4\}$ $56/100$ ) terminan como la Figura 6a: en pocos turnos en valores intermedios. Sin embargo, un porcentaje importante se toma más turnos para alcanzar la estabilidad, debido a que en algún momento alguno de los agentes cumplió su condición de resistencia y abandonó el mercado. La Figura 6b muestra una de estas simulaciones, esta vez mostrando el caso donde inicialmente dos compradores abandonan el mercado llevando el precio esperado hacia abajo. Naturalmente, esta dinámica resulta más lenta de llegar a la estabilidad.

$200$ $20$ .

Figura 6a	Figura 6b	Figura 6c

$\{S=5; B=5; e=4\}$	$\{S=5; B=5; e=4\}$	$\{S=5; B=5; e=4\}$

$N$ distintas realizaciones. Las Figuras 7a-b y 8a-b muestran tanto para cada grupo la media de los precios esperados dentroentre $200$ turnos de la simulación, de forma que ambas medias son idénticas (porque sólo resta una simulación por terminar).

Figura 7a	Figura 8a

Figura 7b	Figura 8b

$\{S=3; B=3; e=4\}$	$\{S=5; B=5; e=4\}$

Mayor cantidad de compradores

El precio medio suele subir

$\{S=3; B=4; e=4\}$ . En la Figura 9a se ve el resultado esperado (y más común), la existencia de un comprador adicional que retorna periodo a periodo menos exigente fuerza el precio medio a subir y lleva al sistema a un equilibrio con un precio elevado.

El caso de la Figura 9b resulta particular: de forma azarosa, algún comprador abandona el mercado en el comienzo de la etapa de regateo. De esta forma, al no existir más el desbalance de cantidades, el resultado final es similar al analizado en el apartado anterior, con precio final intermedio y estabilidad temprana.

Figura 9a	Figura 9b

$\{S=3; B=4; e=4\}$	$\{S=3; B=4; e=4\}$

Para mostrar el comportamiento agregado en esta sección complementaremos la gráfica dentro-entre de la Figura 10a con el recorrido de un vendedor al azar a lo largo de las distintas simulaciones acompañado por su media general. A primera vista resalta la similitud de ambos gráficos: el comportamiento de cada uno de los individuos sigue de cerca al comportamiento general en su mayoría de la forma esperada, más compradores suben el precio. De aquellas simulaciones que alcanzan un precio mayor algunas terminan con precios mayores, estables al superar una segunda utilidad de reserva. Esto resulta de la pérdida de otro vendedor adicional, logrando un equilibrio con un precio aún mayor. Respecto de las configuraciones posibles al terminar las simulaciones se profundizará en el siguiente apartado.

$11$ casos terminan prematuramente (como se muestra en el ejemplo anterior) debido a que algún comprador abandona el mercado y el precio resulta intermedio. ¿Qué ocurre entonces si dos compradores abandonan el mercado al comienzo de la situación? Bueno, se espera ver el resultado donde el precio cae, hasta alcanzar estabilidad en valores menores. Respecto a este tipo de dinámicas se discutirá a continuación.

Figura 10a	Figura 10b

$\{S=3; B=4; e=4\}$	$\{S=3; B=4; e=4\}$

Mayor cantidad de vendedores

El precio medio suele bajar

$\{S=6; B=3; e=4\}$ . Ahora, será la mitad de los vendedores que retornan periodo a periodo menos exigentes debido a que no encuentran pareja. Esto genera que el precio medio caiga de forma más acelerada al principio y a medida que los vendedores son desplazados del mercado

Figura 11a	Figura 11b

$\{S=6; B=3; e=4\}$	$\{S=6; B=3; e=4\}$

En este caso las Figuras 12a y 12 b dentro-entre muestran un comportamiento bastante unificado: todas las simulaciones terminan de la forma esperada, con el precio medio del sistema para ambos grupos en valores bajos. Una posible explicación de esta consistencia resulta del gran desbalance de cantidades, que no sólo acelera la convergencia resultante como se explica arriba, sino también porque si la diferencia entre ambos grupos es especialmente elevada la probabilidad de que abandonen de forma azarosa el número indicado de compradores como para dar vuelta las cantidades relativas es menor comparada con los casos anteriores.

Figura 12a	Figura 12b

$\{S=6; B=3; e=4\}$	$\{S=6; B=3; e=4\}$

De esta forma, en los tres apartados que preceden se mostraron los resultados buscados en la construcción del modelo: la cantidad relativa inicial de agentes determina en la gran mayoría como varía el precio esperado de los agentes. En resumidas cuentas: a igual cantidad de compradores y vendedores el precio medio suele permanecer en valores intermedios, mientras que si hay mayor cantidad de compradores el precio medio suele subir y si hay mayor cantidad de vendedores el precio medio suele bajar.

El rol de la resistencia

mecanismo de ajuste $e$ limpiar $e$ debe ser suficientemente chico: de no serlo, aquellos individuos superfluos se mantendrían en el sistema de forma que o tardaría muchos turnos terminar o jamás ajustaría el sistema.

anteriormente, $U$ mala suerte $e$ veces seguidas con malas propuestas que lo forzaron a abandonar el mercado. Esto puede ocurrir Aun cuando su propuesta podría —en el final de la simulación— ser competitiva. Este resultado negativo es cada vez más probable conforme más pequeño es el parámetro. Existe entonces la dificultad de determinar el valor apropiado para la variable de resistencia. Muy elevado y no cumple su función y muy pequeño y el sistema no encuentra equilibrios satisfactorios.

$\{S=3; B=3\}, \{S=5; B=5\}, \{S=6; B=3\}, \{S=4; B=3\}$ $1000$ $e\in \{3,4,5,6\}$ recopilando las configuraciones de vendedores y compradores activas en cada momento y el turno en el que se alcanza la estabilidad.

Figuras 13	Figuras 14

$\{S=3; B=3\}$	$\{S=5; B=5\}$

$S=B$ $S\neq B$ $e$ $(S+1)\times (B+1)$ $e$ son bajos, más configuraciones totales aparecen, Aun cuando (como se verá también más adelante) la mayor parte de ellas lo hace de la forma esperada.

Figuras 15	Figuras 16

$\{S=3; B=4\}$	$\{S=6; B=3\}$

“” $\{S=5; B=5, e=4\}$ $\{S=5; B=5\}$ $30-50$ $140$ $e$ ) la proporción más grande de casos finaliza temprano y de la forma esperada.

Figuras 17	Figuras 18

$\{S=3; B=3\}$	$\{S=5; B=5\}$

$\{S=3; B=4\})$ $e=4$ (Figuras 15b).

Figuras 19	Figuras 20

$\{S=3; B=4\}$	$\{S=6; B=3\}$

$e$ $|n-m|$ -avo individuo

Conclusiones

$n$ $m$ compradores heterogéneos deciden si intercambiar o no una única unidad de un bien homogéneo. Mediante una regla simple de actualización de los precios esperados periodo a periodo los participantes revalúan constantemente si participar o no de intercambios y en consecuencia sus pretensiones para el futuro, incluso si deben abandonar el mercado.

La confección, implementación y testeo del modelo en python resultó el desafío principal del trabajo. En esta tarea se aprovechó la versatilidad presente en el paradigma de programación orientado a objetos para armar clases que representarán a cada elemento del modelo: los agentes —compradores y vendedores, cada instanciación de ellos un caso particular e independiente— y el lugar donde estos se encuentran, el mercado. De esta forma, construyendo plantillas generales para cada elemento del modelo, se logró crear una población heterogénea de individuos que cumplieran ciertas características y que pudieran reaccionar a las interacciones entre ellos. Los resultados del modelo se presentan utilizando distintos gráficos utilizando los paquetes altair (VanderPlas et al., 2018) y matplotlib (Hunter, 2007).

Desde estos resultados, el modelo plantea ciertas moralejas. La principal es que se ha mostrado que es posible pensar el proceso de ajuste de precios en un mercado como el resultado iterado entre los agentes que lo componen y donde el resultado responde en la mayor parte de los casos a las cantidades relativas de ambos grupos. También se ha explicado el mecanismo por el cual esto ocurre: como los encuentros se realizan de a pares, aquel grupo que tiene menos participantes se encuentra en ventaja, influenciando el precio promedio de forma más consistente que sus contrincantes. Es así como el resultado final en la mayor parte de los casos analizados resulta en cantidades idénticas en ambos grupos.

Es importante notar que este resultado se encuentra en línea con la presentación tradicional, por lo que puede interpretarse como una interpretación complementaria del mismo fenómeno, aunque mediante un mecanismo descentralizado. La aproximación a resultados agregados desde acciones individuales es la fortaleza del enfoque basado en agentes y se espera que el presente trabajo haya mostrado una posibilidad distinta para su aplicación.

Una segunda característica de este tipo de modelos se pudo apreciar cuando se presentó el análisis respecto del parámetro de resistencia, o cuántos turnos de resultados negativos deben transcurrir hasta que los individuos abandonen el mercado. En el final del trabajo se mostró que alteraciones en su valor llevan a resultados agregados distintos, donde valores pequeños resultan en configuraciones finales más variadas mientras que valores superiores llevan a configuraciones más uniformes. Este tipo de resultados es común en modelos donde pequeños cambios en las condiciones iniciales general resultados muy disímiles a lo largo del proceso.

Como se ha mencionado anteriormente, el código utilizado para realizar las simulaciones presentadas aquí se encuentra a libre disposición. Se espera que éste sea de utilidad al lector, no sólo para verificar los resultados aquí presentados, sino como ejemplo y puerta de entrada al uso de elementos computacionales en la disciplina económica, sea o no dentro del paradigma de los modelos basados en agentes.

Bibliografía

Albin, P., & Foley, D. K. (1992). Decentralized, dispersed exchange without an auctioneer. Journal of Economic Behavior & Organization, 18(1), 27-51. https://doi.org/10.1016/0167-2681(92)90051-C

Arthur, W. B. (2015). Complexity and the economy. Oxford University Press.

Axelrod, R. (2005). Advancing the Art of Simulation in the Social Sciences. En Handbook of Research on Nature Inspired Computing for Economy and Management (Idea Group, p. 13).

Axelrod, R., & Tesfatsion, L. (2006). A guide for newcomers to agent-based modeling in the social sciences. En Handbook of Computational Economics, Vol. 2: Agent-Based Computational Economics (p. 13). Elsevier, North-Holland.

Axtell, R. (2005). The Complexity of Exchange. The Economic Journal, 115(504), 193-210. https://doi.org/10.1111/j.1468-0297.2005.01001.x

Chisari, O. O., Cicowiez, M., Escudé, G. J., Heymann, D., Kawamura, E., Perazzo, R., Romero, C. A., & Zimmermann, M. (s. f.). Progresos en economía computacional (1era ed.). Temas Grupo Editorial.

Cimoli, M., Pereima, J. B., & Porcile, G. (2016). Introduction to the special issue SCED: Complexity and economic development. Structural Change and Economic Dynamics, 38, 1-2. https://doi.org/10.1016/j.strueco.2016.04.004

Dosi, G., Fagiolo, G., & Roventini, A. (2008). The microfoundations of business cycles: An evolutionary, multi-agent model. Journal of Evolutionary Economics, 18, 413–432. https://doi.org/10.1007/s00191-008-0094-8

Dosi, G., & Roventini, A. (2017). Agent-Based Macroeconomics and Classical Political Economy: Some Italian Roots. Italian Economic Journal, 3(3), 261-283. https://doi.org/10.1007/s40797-017-0065-z

Gode, D. K., & Sunder, S. (1993). Allocative Efficiency of Markets with Zero-Intelligence Traders: Market as a Partial Substitute for Individual Rationality. Journal of Political Economy, 101(1), 119-137. https://doi.org/10.1086/261868

Gordon, M. B., Nadal, J.-P., Phan, D., & Semeshenko, V. (2004). How to choose under social inﬂuence? 11.

Hamill, L., & Gilbert, N. (2016). Agent-Based Modelling in Economics. Wiley.

Heymann, D., Kawamura, E., Perazzo, R., & Zimmermann, M. G. (2014). Behavioral heuristics and market patterns in a Bertrand–Edgeworth game. Journal of Economic Behavior & Organization, 105, 124-139. https://doi.org/10.1016/j.jebo.2014.04.027

Heymann, D., Perazzo, R. P. J., & Schuschny, A. R. (2004). Learning and imitation: Transitional dynamics in variants of the bam. Advances in Complex Systems, 07(01), 21-38. https://doi.org/10.1142/S0219525904000020

Hommes, C. (2013). Behavioral Rationality and Heterogeneous Expectations in Complex Economic Systems. Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9781139094276

Hunter, J. D. (2007). Matplotlib: A 2D graphics environment. Computing in Science & Engineering, 9(3), 90–95. https://doi.org/10.1109/MCSE.2007.55

Kirman, A. (2006). Demand Theory and General Equilibrium: From Explanation to Introspection, a Journey down the Wrong Road. History of Political Economy, 38(Suppl 1), 246-280. https://doi.org/10.1215/00182702-2005-025

Kirman, A. P. (1992). Whom or What Does the Representative Individual Represent? The Journal of Economic Perspectives, 6(2), 117-136.

Kirman, A. P., & Vriend, N. J. (2001). Evolving market structure: An ACE model of price dispersion and loyalty. Journal of Economic Dynamics & Control, 459-502.

Schelling, T. C. (1978). Micromotives and macrobehavior (1st ed). Norton.

Semeshenko, V., Gordon, M. B., & Nadal, J.-P. (2008). Collective states in social systems with interacting learning agents. Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 387(19-20), 4903-4916. https://doi.org/10.1016/j.physa.2008.04.019

team, T. pandas development. (2020). pandas-dev/pandas: Pandas (latest) [Computer software]. Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.3509134

Tesfatsion, L., & Judd, K. L. (Eds.). (2006). Agent-based computational economics (1. ed). Elsevier, North-Holland.

VanderPlas, J., Granger, B., Heer, J., Moritz, D., Wongsuphasawat, K., Satyanarayan, A., Lees, E., Timofeev, I., Welsh, B., & Sievert, S. (2018). Altair: Interactive Statistical Visualizations for Python. Journal of Open Source Software, 3(32), 1057. https://doi.org/10.21105/joss.01057

Vriend, N. J. (1995). Self-organization of markets: An example of a computational approach. Computational Economics, 8(3), 205-231. https://doi.org/10.1007/BF01298460

Wilhite, A. (2001). Bilateral Trade and ‘Small-World’ Networks. Computational Economics, 18, 49-64.